Contrôler l’infini avec une seule commande

Dans leur publication Wave equation with cone-bounded control laws, Christophe Prieur, Sophie Tarbouriech et João M. Gomes da Silva Jr se sont intéressés au contrôle dans le domaine des équations d’ondes. Ils souhaitaient pouvoir contrôler une infinité de fréquences d’une corde, équivalente à une onde, via une seule commande. Leur problème était donc double. 

Tout d’abord, l’infinité de fréquences impliquait l’utilisation d’équations à dérivées partielles, car l’approche traditionnelle de gestion des phénomènes physiques qui varient au cours du temps, comme la vitesse par exemple, est une approche qui ne permet qu’un contrôle sur un nombre fini de fréquences. La description en équations à dérivées partielles permettait ainsi de prendre en compte tout le spectre des fréquences. 

Ensuite, les chercheurs étaient confrontés à la limitation en amplitude de la commande qui rendait le problème non-linéaire, c’est-à-dire non proportionnel, et donc plus difficile à gérer. En effet, contrôler la corde pour la ramener par exemple à une position en équilibre demande beaucoup d’énergie et d’actionneurs, surtout lorsqu’il faut la faire revenir en place dans un temps court. Cela peut être possible si l’on n’a pas de limitation d’amplitude de la commande, mais le problème devient non-linéaire dès que l’on veut limiter l’énergie. En effet, l’actionneur ne peut pas consommer autant d’énergie qu’il veut, et la dynamique de mouvement de la corde n’est physiquement pas infinie. 

Pour contrôler une infinité de fréquences de vibration d’une corde, les chercheurs se sont concentrés sur le contrôle soit à l’extrémité de la corde (contrôle frontière) pour lui imposer une forme, soit via une force agissant sur toute la longueur de la corde (contrôle interne). Jusque-là, il était possible de commander une infinité de fréquences avec une commande linéaire, ou un nombre fini de fréquences avec une commande non-linéaire. Grâce aux résultats de leurs travaux, il est désormais possible de commander une infinité de fréquences avec une commande non-linéaire, c’est-à-dire sur un plan applicatif de contrôler une infinité de formes de structures via une seule commande. 

L’intérêt applicatif de ce travail se trouve dans le contrôle de structures flexibles où se posent les problématiques d’équations de corde ou d’onde (wave equation). Par exemple, une aile d’avion est généralement vue en 2D en négligeant l’épaisseur. Mais si l’on gère une dimension après l’autre (par exemple en laissant dans un premier temps de côté la largeur de l’aile), alors l’aile peut être vue comme une corde dont le mouvement doit être contrôlé. En combinant les deux observations, les deux dimensions, il est possible d’avoir un contrôle complet de l’objet. De même, les grands miroirs qui permettent l’observation d’étoiles peuvent être réduits à une représentation en 2D, puis 1D. 

Ce travail a fait l’objet d’une coopération internationale, au niveau des co-auteurs qui sont français et brésiliens, mais aussi dans le cadre de la thèse de Swann Marx qui s’inscrit dans un projet MathAmSud avec le Chili. Cette thèse en mécanique des fluides décrit l’évolution de liquide dans des canaux pour en contrôler le niveau sur les bords, en reprenant le principe de contrôle frontière via les portes et les écluses. 

Publication

Wave equation with cone-bounded control laws de Christophe Prieur1 , Sophie Tarbouriech2  et João M. Gomes da Silva Jr3 , IEEE Transactions on Automatic Control, Volume : 61, Issue : 11, Nov. 2016, Pages : 3452-3463

• 1Laboratoire Grenoble Image, Parole, Signal, Automatique (GIPSA-lab - CNRS/Grenoble INP/Université de Grenoble Alpes)
• 2Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes (LAAS-CNRS), Toulouse
• 3Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brésil