Les matériaux granulaires désignent généralement un ensemble de petits grains solides dont la taille excède 100 micromètres, à la différence des poudres constituées de particules plus fines. Compte tenu de cette taille limite, les interactions entre les grains sont principalement dictées par les contacts et le frottement solide, tandis que les interactions entre les grains et l’air peuvent être négligées. La cohésion entre les grains peut en outre jouer un rôle important, typiquement dans le cas des matériaux humides.
En raison de leur nature « discrète » à l’échelle macroscopique (c’est-à-dire, leur composition en grains individuels), les matériaux granulaires sont des systèmes dissipatifs qui présentent différents états physiques, allant de liquide (lorsque le matériau coule en continu, comme dans un sablier) à solide (lorsque le matériau se rigidifie à cause du frottement interne et subit alors des déformations dites « plastiques »), ou même gazeux (lorsque les grains sont dispersés dans l’air et interagissent peu). Un tel comportement, très riche visuellement et radicalement différent de celui des fluides classiques dits « newtoniens » (tels que l’eau, qui continue à s’écouler indépendamment des forces extérieures appliquées), explique pourquoi simuler la matière granulaire a gagné une attention accrue en informatique graphique depuis quelques décennies, au-delà des applications traditionnelles en physique et en génie mécanique.
Cependant, contrairement aux fluides newtoniens ou aux matériaux élastiques pour lesquels des modèles physiques de référence ont été développés au cours des derniers siècles, la matière granulaire n’est pas encore bien comprise par les physiciens : aucune équation universelle n’existe pour décrire le comportement collectif de ce matériau si particulier. En conséquence, plusieurs méthodes concurrentes ont été mises au point pour l’étude et la simulation numérique de matériaux granulaires, suivant deux stratégies principales de modélisation.
La stratégie la plus naturelle est de considérer un modèle discret, dans lequel les grains sont représentés individuellement en tant que corps rigides et les interactions grain à grain sont prises en compte via un modèle de contact frottant (de type Coulomb) entre deux corps rigides. Parce qu’elles modélisent explicitement la matière à l’échelle du grain, les méthodes basées sur un tel modèle discret ont la capacité de capturer les différents états de la matière granulaire et leurs transitions de manière assez précise. Toutefois, sachant qu’une seule cuillère à café de sucre contient déjà environ 100 000 grains, on peut facilement imaginer que de telles approches soient trop coûteuses en temps de calcul pour des scènes complexes comme celle d’une dune de sable soufflée par le vent ou foulée par un personnage virtuel.
La seconde stratégie, plus récemment explorée, consiste à représenter la matière granulaire comme un milieu continu, régi par une loi d’écoulement (ou « rhéologie ») bien particulière. Bien que moins précise que la stratégie discrète, la modélisation continue a pu néanmoins, dans certains cas, démontrer un bon accord qualitatif avec des scénarios réels mettant en jeu des écoulements granulaires. En particulier, une loi constitutive qui a fait ses preuves a été introduite par Jop, Forterre et Pouliquen en 2006 sous le nom de « rhéologie μ(I) », et repose sur un modèle d’écoulement avec seuil de rupture dépendant de la pression (critère dit « de Drucker-Prager »). Schématiquement, l’idée est que le milieu granulaire ne peut pas s’écouler et reste « rigide » ou « plastique » jusqu’à un certain seuil de pression. Au-delà de ce seuil, le matériau s’écoule comme un liquide, comme par exemple la surface d’un tas de sable que l’on incline. Pour des raisons de commodité de calcul, la plupart des modèles numériques existants ont réalisé quelques approximations importantes de ce modèle, par exemple en supposant un écoulement incompressible ou une densité de matériau uniforme, ou en simplifiant la loi d’écoulement de Drucker-Prager. De telles approximations se traduisent souvent par une perte considérable de réalisme, par exemple en empêchant un tas de stable de se stabiliser correctement après écoulement (régularisation du seuil), ou en introduisant une orientation artificielle dans l’écoulement (linéarisation du critère de Drucker-Prager).
Dans leur publication « A Semi-Implicit Material Point Method for the Continuum Simulation of Granular Materials », Gilles Daviet et Florence Bertails-Descoubes ont réussi à capturer la richesse visuelle caractéristique du mouvement des matériaux granulaires au sein de scènes complexes dans lesquelles la matière peut aussi bien s’écouler, se rigidifier ou se disperser. Pour cela, les chercheurs se sont basés sur la modélisation en milieu continu, en représentant la matière granulaire comme un fluide viscoplastique compressible. Ils ont défini un fluide avec une densité variable, pour permettre au fluide d’être soit tassé soit dispersé en grains individuels ; subissant une contrainte unilatérale de compressibilité, pour autoriser le fluide à se dilater à volonté mais à ne pas se comprimer au-delà du tassement maximal ; et suivant le critère de Drucker-Prager, pour que les frottements internes résistent jusqu’à un certain seuil de pression. La principale contribution de cette publication est de proposer une discrétisation spatiale, mais surtout une discrétisation temporelle « implicite » (ou plus exactement, semi-implicite) de ce modèle, sans régulariser ni linéariser la loi d’écoulement. Tout d’abord, les chercheurs ont discrétisé spatialement leur modèle à l’aide d’une méthode mixte éléments finis – particules. Pour la discrétisation temporelle implicite (c’est-à-dire qu’à la fin de chaque pas de temps, les variables du système vérifient exactement toutes les contraintes imposées), ils se sont rendus compte que le problème à résoudre est en fait très similaire aux problèmes discrets classiquement rencontrés en mécanique du contact pour des objets solides. Pour le résoudre de manière robuste et efficace, ils ont donc pu s’appuyer sur des solveurs qui ont déjà fait leurs preuves, notamment sur des systèmes en grande dimension. Une telle discrétisation temporelle permet de conférer une très grande stabilité aux simulations produites, à l’opposé des méthodes dites « explicites » qui résolvent les variables de manière beaucoup plus simple, mais sans garantie de satisfaire toutes les contraintes en jeu à la fin de chaque pas de temps.
Leurs résultats ont été validés qualitativement en retrouvant des lois empiriques rapportées dans la littérature physicienne, comme par exemple la loi d’écoulement à débit constant dans un silo ou le profil de l’effondrement d’une colonne. En outre, dans le cas de scènes plus complexes intéressant le champ de l’informatique graphique (par exemple, l’interaction entre un personnage virtuel et un tas de sable), cette nouvelle méthode a permis d’améliorer le réalisme des simulations en réduisant sensiblement les artefacts visuels inhérents aux travaux antérieurs, et ceci pour un coût de calcul équivalent. Les chercheurs ont pu proposer plusieurs extensions à leur approche, comme la cohésion entre les grains, le couplage du milieu granulaire avec un corps rigide extérieur (pour simuler l’impact d’une balle dans un tas de sable, par exemple), ou encore l’orientation des grains (pour traiter des grains non plus supposés ronds, mais plats comme le sont par exemple des pièces de monnaie au sein d’un trésor). Gilles Daviet et Florence Bertails-Descoubes commencent désormais à traiter le cas d’un milieu granulaire immergé dans l’eau, pour lequel les interactions entre les grains et le fluide environnant ne sont plus négligeables.