Un projet ERC pour la résolution automatique, rapide et fiable des équations différentielles
Depuis le Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (LIX - CNRS/École polytechnique), où il est directeur de recherche CNRS, Joris van der Hoeven va piloter le projet ERC Advanced Grant Odelix. Il vise le développement de solutions logicielles pour une résolution, numérique comme symbolique, des équations différentielles. Les preuves formelles du résultat et les marges d’erreur accompagneront systématiquement ces solutions.
Équations dont les inconnues sont des fonctions, les équations différentielles sont utilisées dans des domaines aussi variés que la physique, la biologie, la chimie ou encore l’économie. Elles servent notamment à modéliser des phénomènes complexes qui évoluent au fil du temps.
« Les équations différentielles sont souvent résolues par des ingénieurs pour des cas de figure très spécifiques, souligne Joris van der Hoeven, directeur de recherche CNRS au LIX. Ces solutions sont rapides, mais ni génériques ni forcément fiables. »
Ce chercheur travaille justement depuis des années sur l’automatisation rapide, mais fiable, de calculs formels et de l’analyse mathématique. Un intérêt qu’il applique désormais aux équations différentielles en pilotant le projet ERC Advanced Grant Odelix : résolution rapide, précise et fiable d’équations différentielles (Solving differential equations fast, precisely and reliably).
« Nous voulons comprendre avec quelle efficacité théorique on peut résoudre une équation différentielle, et ainsi savoir combien de temps est nécessaire pour obtenir un résultat avec la précision souhaitée, poursuit Joris van der Hoeven. Comme il existe de nombreux types d’équations différentielles, nous n’allons probablement pas trouver de solution sous forme d’un théorème ou algorithme unique. Nous allons plutôt décliner toute une séquence de questions qui permettra d’identifier la meilleure approche pour chaque cas. »
Joris van der Hoeven compte ainsi concevoir un logiciel de résolution automatique et certifiée d’équations différentielles plus efficace que les options actuelles, tout en offrant des garanties formelles. Si certains cas d’étude seront pris en compte lors de son développement, Odelix vise à rester le plus générique possible. L’ensemble des solutions issues du projet sera distribué sous le régime du logiciel libre, afin que chercheurs et ingénieurs puissent plus facilement les adapter en fonction des applications qu’ils ciblent.
Il existe différentes manières de résoudre une équation différentielle, notamment en fonction de la précision souhaitée et des difficultés intrinsèques liées à l’équation, comme la sensibilité aux conditions initiales ou le développement de singularités.
En plus des approches numériques classiques, Joris van der Hoeven s’intéresse à l’approche symbolique, ou formelle, qui donne des résultats exacts, et donc sans arrondis, sous forme de formules mathématiques. « Pour parvenir à ces solutions symboliques, nous allons nous appuyer sur deux méthodes, devenues très puissantes récemment, mais encore peu appliquées au domaine des équations différentielles : l’homotopie numérique et l’interpolation creuse, précise Joris van der Hoeven. Je fais le pari qu’elles vont aboutir à des résultats intéressants. »
Joris van der Hoeven va également prendre en compte les solutions asymptotiques, à mi-chemin entre les solutions numériques et symboliques. Plus rapides à calculer, elles sont pertinentes dans des cas hors norme, comme lorsque le temps tend vers l’infini ou quand les nombres présentent beaucoup de chiffres après la virgule. Là encore, et malgré ces régimes extrêmes, les résultats seront garantis.